核和值域的关系：什么是矩阵的秩？

这篇博客将介绍一个任意矩阵的核和值域的关系，并由此说明矩阵秩的意义、子空间维数、子空间正交。

1、矩阵的核：N(A)

A∈Cm×nA\in C^{m\times n}A∈Cm×n，矩阵的核，记作N(A)，N是nullity的首字母。

N(A)={x∣Ax=0,x∈Cn}

N(A)=\{x|Ax=0,x\in C^n \}

N(A)={x∣Ax=0,x∈Cn}

A的核，其实就是齐次方程组Ax=0的所有解（解空间）。下面介绍解的情况。

rank(A)=n，则有唯一解，且唯一解为0，N(A)={0}。rank(A)=r

可用行阶梯形来理解上述定理。注意，行初等变换不改变矩阵的解空间。

Ax=0⇒A~x=0A~=[a1,1a1,2a1,3…a1,na2,2a2,3…a2,n⋮⋱⋱⋮(0)⋱an−1,n0⋯an,n]

Ax=0 \Rightarrow \tilde Ax=0\\

{\mathbf {\tilde A}}={\begin{bmatrix}a_{{1,1}}&a_{{1,2}}&a_{{1,3}}&\ldots &a_{{1,n}}\\

&a_{{2,2}}&a_{{2,3}}&\ldots &a_{{2,n}}\\

\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\

&(0)&&\ddots &a_{{n-1,n}}\\

0&&\cdots &&a_{{n,n}}\end{bmatrix}}

Ax=0⇒A~x=0A~=​a1,1​⋮0​a1,2​a2,2​(0)​a1,3​a2,3​⋱⋯​……⋱⋱​a1,n​a2,n​⋮an−1,n​an,n​​​

当rank(A)=n时，a_nn ≠ 0，因此x_n=0；关注第n-1行：an−1,n−1xn−1+an−1,nxn=0a_{n-1,n-1}x_{n-1}+a_{n-1,n}x_{n}=0an−1,n−1​xn−1​+an−1,n​xn​=0，连锁反应将使得x_i=0， i=1～n；

当rank(A)=r是，a_rr ≠ 0，因此x_r=0，所以x=[0,0,0,*,*,*]，r个0，n-r个任意值。

2、矩阵的值域：R(A)

A∈Cm×nA\in C^{m\times n}A∈Cm×n，矩阵的值域，记作R(A)，R是range的首字母。

R(A)={y∈Cm∣y=Ax,x∈Cn}

R(A)=\{y\in C^m|y=Ax,x\in C^n \}

R(A)={y∈Cm∣y=Ax,x∈Cn}

值域就是A的列向量组所能张成的最大空间。

dim(R(A)) = rank(A) = rank(AH) = dim(R(AH))秩-零化度定理：rank(A)+nullity(A)=n，nullity(A)=dim(N(A))

可以从线性表出的角度去理解。注意，矩阵的分块乘法。

y=Ax=(α1,α2,⋯ ,αn)(x1,x2,⋯ ,xn)T=x1α1+x2α2+⋯+xnαn

\begin{aligned}

y &=Ax \\

&= (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\\

&= x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n

\end{aligned}

y​=Ax=(α1​,α2​,⋯,αn​)(x1​,x2​,⋯,xn​)T=x1​α1​+x2​α2​+⋯+xn​αn​​

3、子空间正交

所谓子空间正交，就是子空间W1的所有向量和W2所有向量正交。

==(Ax)Hx=xHAHx

==(Ax)^Hx=x^HA^Hx

==(Ax)Hx=xHAHx

因此R(A)和N(AH)正交。

R(A)∩N(AH)={0}R(A) \cap N(A^H)=\{0\}R(A)∩N(AH)={0}R(A)⊕N(AH)=CmR(A) \oplus N(A^H) = C^mR(A)⊕N(AH)=Cm

⊕\oplus⊕是直和，只有两个正交的空间才能进行直和运算。

直和：对于V1+V2中任何一个向量a=a1+a2，其中a1属于V1，a2属于V2，这种表示是唯一的，则称V1+V2为直和。

4、子空间维数定理

V1+V2={x1+x2∣x1∈V1,x2∈V2}V1∩V2={x∣x∈V1,x∈V2}

V_1+V_2=\{x_1+x_2|x_1\in V_1,x_2\in V_2 \}\\

V_1\cap V_2=\{x|x\in V_1,x\in V_2 \}

V1​+V2​={x1​+x2​∣x1​∈V1​,x2​∈V2​}V1​∩V2​={x∣x∈V1​,x∈V2​}

子空间维数定理：

dim(V1)+dim(V2)=dim(V1+V2)+dim(V1∩V2)

dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V1\cap V_2)\\

dim(V1​)+dim(V2​)=dim(V1​+V2​)+dim(V1∩V2​)

可从三维空间理解。V1和V2是两个不相同的平面，各自维数为2，相加为4。和空间为整个三维空间，交空间为一条直线，即一维空间。

5、非齐次线性方程组的解

在第一节介绍了其次线性方程组Ax=0的解，下面介绍非齐次线性方程组Ax=b的解，其中A∈Cm×nA\in C^{m\times n}A∈Cm×n，Aˉ=[A,b]\bar A=[A,b]Aˉ=[A,b]是增广矩阵。

如果rank(A)=rank(Aˉ\bar AAˉ)=n，则方程组有唯一解。如果rank(A)=rank(Aˉ\bar AAˉ)=rrank(Aˉ\bar AAˉ)

注意，齐次方程组必定有解，而非齐次方程组可能无解。